चार बिंदुओं $P, Q, R, S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $2a + 4c$,$5a + 3\sqrt{3}b + 4c$,$-2\sqrt{3}b + c$ और $2a + c$ हैं,तो:

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ शून्येतर सदिश हैं जो रैखिक रूप से आश्रित हैं,इस प्रकार कि $\frac{|\vec{a} + \vec{b}|}{|\vec{a} - \vec{b}|} = 2$ और $|\vec{b}| > |\vec{a}|$,तो:

दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर विचार करें जिनके स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$ और $\overrightarrow{OQ} = \vec{a} + \vec{b}$ हैं। उस बिंदु $R$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो $P$ और $Q$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

$R$,$P$ और $Q$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को,जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं,$2: 1$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है। $S$,$PQ$ को $2: 1$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है। तब,$R$ और $S$ को जोड़ने वाली रेखा के मध्यबिंदु का स्थिति सदिश है

यदि $\bar{c} = 5\bar{a} + 6\bar{b}$ और $3\bar{c} = \bar{a} - 4\bar{b}$ है,तो:

मान लीजिए $A, B, C$ तीन बिंदु हैं जिनके स्थिति सदिश $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + \alpha\hat{j} + 4\hat{k}$ (जहाँ $\alpha \in R$),और $\overrightarrow{c} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं। यदि $\alpha$ सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असंरेख (non-collinear) हैं,तो $\triangle ABC$ में $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका की लंबाई ज्ञात कीजिए।